CONTROLE D'ATTITUDE

PAR MAGNETOCOUPLEURS

	CONTENU : Mis à jour 8 février 1999, revu avril 2012, juin 2014 I Le magnétocoupleur Notations et conventions | Calcul du couple créé | Equations du SCAO | Mise sous forme canonique | Matrice de gain |Exemple de spécifications | II Champ magnétique terrestre Généralités | Modèle simplifié | Polynômes de Legendre Simulation sous Matlab
Voir les pages consacrées à une application à un nanosatellite Voir une application en commande optimale

Ce chapitre est consacré au contrôle actif de l'attitude d'un satellite par magnétocoupleurs. Nous nous plaçons dans la configuration d'une stabilisation trois axes d'un satellite, sur orbite circulaire, par rapport au repère orbital. Les écarts angulaires sont donc supposés petits.

IDEE DIRECTRICE : Réaliser un contrôle de l'attitude satellite par des couples internes, sans dépense d'énergie stockée et sans consommation d'ergols.

On utilise des bobines alimentées par des courants adéquats ( seuls les panneaux solaires interviennent et l'alimentation est durable, grâce aux batteries ).

La création de couples nécessitent un champ magnétique externe, or il est présent certes faible, sous la forme du champ magnétique terrestre. On se limitera donc à des couples petits, dans le cadre de petits dépointages angulaires

Le candidat idéal est le MAGNETOCOUPLEUR.

REMARQUES :

Les magnétocoupleurs peuvent aussi être utilisés, pour de très petits satellites, à réduire les vitesses angulaires consécutives au lancement. Deux techniques peuvent être utilisées :

1 – Contrôle par la dérivée du champ magnétique, appelée loi en Bpoint Voir Brevet de M Damilano Voir une application à un nanosatellite

2 – Contrôle par une régulation dite Boussole de’ M Philippe Laurens Voir Brevet de M Laurens Voir une application à un nanosatellite

3 – Les magnétocoupleurs peuvent aussi être associés à une roue de réaction Voir un exemple théorique

I LE MAGNETOCOUPLEUR :

1°) Notations et conventions :

a) Données :

On appelle ou on rappelle:

o I_R, I_T,I_L les inerties en roulis, tangage et lacet.

o F, q, y les angles de roulis, tangage et lacet supposés petits dans le contrôle d'attitude.

o w_o la pulsation orbitale constante pour une orbite circulaire de rayon r.

Le repère orbital, dans le cas d'une orbite circulaire est X, Y, Z avec X unitaire de la vitesse, Z unitaire de la verticale locale, Y complète le repère

On notera le vecteur champ magnétique terrestre ( vecteur B ) par ses composantes dans le repère orbital local XYZ, donc en fonction de la position courante du satellite, au rayon vecteur r et au temps t, ce calcul peut être soit analytique avec un modèle embarqué. Les composantes peuvent aussi être restituées par une mesure du champ à l'aide de magnétomètres. Dans tous les cas on a:

L'électronique de bord et les capteurs utilisés doivent élaborer un MOMENT MAGNETIQUE GLOBAL M en utilisant des moments magnétiques par axes, grâce à des bobines commandées par des courants bien calculés.

b) Réflexion sur l'efficacité magnétique

Comme le couple de commande Mc est un produit vectoriel, son module est maximum quand les 2 vecteurs M et B sont orthogonaux. Ne pouvant pas changer B, il faut donc construire M normal à B, puisque la partie de ce moment magnétique colinéaire à B est inefficace. On utilise pour ce faire un vecteur annexe m pour l'instant non précisé, mais qui va devenir en fait la commande. Cette optimisation du moment magnétique permet d’économiser de l’énergie.

Si on détaille le couple actif mécanique on observe que le vecteur m pourrait apparaître comme une commande amplifiée par le module du champ magnétique B, par contre le second terme est moins prévisible et demande une étude plus poussée

Sur cette idée ( mais d'autres auraient pu être choisies ), un pseudo moment magnétique ( au sens mécanique de couple ) de commande est élaboré par le calculateur, par exemple en loi proportionnelle dérivée:

On note alors que les angles de dépointage sont traités sur les axes respectifs F sur x, q sur y et j sur z, par des commandes proportionnelles dérivées classiquement amplifiées

D'autres commandes peuvent naturellement être imaginées.

EXEMPLE : sur une orbite circulaire proche d'une orbite polaire, on peut dire que le champ magnétique est dans le plan orbital. Ainsi si on choisi de ne traiter que le tangage et le lacet, en oubliant le roulis, le terme disparaît quasiment, supprimant des termes éventuels de couplage déstabilisants.

2°) Couple dû aux magnétocoupleurs :

Le satellite est équipé de magnétomètres( liés au satellite), mesurant in situ les composantes en axes satellite du champ magnétique terrestre. Des capteurs de positions angulaires ( senseurs ) et des gyromètres de mesure de vitesses angulaires associés à une électronique de bord, permettent d'élaborer les fonctions mx my mz, puis Mx My Mz, et donc les courants à injecter dans trois bobines suivant les 3 axes pour obtenir le moment magnétique de commande M.

Le moment général M du dipôle équivalent s'écrit sous forme vectorielle :

Le vecteur champ magnétique terrestre calculé dans la base satellite en fonction des paramètres angulaires et des composantes de B dans le repère orbital, est dans le cas des petits angles de dépointage :

donnant le couple de commande ci-dessous, obtenu en explicitant le double produit vectoriel:

ce couple de contrôle agissant sur le satellite est donné par ses composantes dans les axes satellites. En dernier ressort c'est m( mx my mz ) qui apparaît comme la commande.

Le moment total des perturbations extérieures autres que gravitationnelles est :

On consultera, pour évaluer les couples perturbateurs, les ouvrages spécialisés ou le cours fourni sur ce site.

On s'intéressera tout particulièrement aux couples d'origine aérodynamiques et on s'apercevra probablement du rôle important joué par la position du centre de poussée par rapport au centre de masse.

3°) Equations du SCAO :

Les équations de comportement se présentent sous la forme générale ci-dessous:

où les quantités du second membre se calculent comme indiqué plus haut.

• Indice c pour commande
• Indice p pour perturbations ( gravitationnelles non comprises puisqu'elles sont utilisées par le gradient de gravité déjà inclus dans le premier membre )

MISE SOUS FORME CANONIQUE:

Si par exemple le vecteur d'état du système est noté X, la perturbation ou la commande(au second membre) est le vecteur d'entrée U =U_p + U_c, Y le vecteur de sortie, on a alors par exemple la REPRESENTATION D'ETAT :

Si en sortie Y=X alors les matrices A, B, C, D s'expriment respectivement ainsi :

Les vecteurs d'état et de commande sont :

Remarque capitale sur le rôle des magnétocoupleurs et leur inconvénient:

Les calculs mathématiques ont masqué le rôle important du champ magnétique terrestre B et sa contribution comme amortisseur des oscillations des angles de roulis lacet et tangage.

Le lecteur vérifiera lui même que l'expression de Mcx est la suivante :

On constate que le premier terme négatif introduit dans l'équation de roulis en F un rappel élastique et un amortissement. Ces effets sont favorables à la stabilisation du roulis.

Malheureusement les autres termes de couplage avec le lacet et le tangage dans l'équation de roulis apparaissent comme perturbateurs et parfois déstabilisants. C'est donc un inconvénient non négligeable, qui conduit en pratique à une compensation par roue de réaction, dont le rôle pourrait se limiter à compenser ces termes parasites.

Naturellement le raisonnement est le même sur les autres axes.

MATRICE DE GAIN :

On parle en général d'une MATRICE DE GAIN notée K dans la boucle de retour d'état.

Les coefficients kpx, ........kdz dans les études réelles, sont à déterminer et naturellement à optimiser en tenant compte de leur réalité physique et tout en cherchant à minimiser la consommation en puissance.

4°) Exemple de spécifications imposées à une mission d'imagerie :

Généralement l'héliosynchronisme est imposé par une mission d'observation de la Terre

La technologie des caméras impose donc des spécifications précises en ce qui concerne:

• La précision de pointage
• Les vitesses angulaires maximum admissibles pour une prise de vue correcte.
• Caractéristiques techniques du système de prise de vues:

Z : Altitude sol de la prise de vue

a : Angle d'ouverture de prise de vue

n x n : Ensemble de n² pixels de la matrice carrée CCD

t : temps de prise de vue

k: 0 < k <1 décalage maximum toléré en fraction de pixels de l'image en début et fin de prise de vue.

d : Résolution au sol pour 1 pixel

Vous pourriez montrer par un calcul que les tolérances en vitesses angulaires de roulis et tangage sont les mêmes et donnent les spécifications suivantes:

Pour le lacet par une étude plus particulière vous établirez

pour une résolution sol par pixel

II CHAMP MAGNETIQUE TERRESTRE :

1°) Généralités :

Le champ magnétique terrestre apparaît comme résultant d'un dipôle magnétique faisant un angle de 11° avec l'axe de rotation de la Terre et légèrement décentré. Le pôle sud du dipôle est dans l'hémisphère nord à 78°6 de latitude et 289°55 de longitude ouest, de plus ce dipôle dérive de 0.014°/an vers l'est et sa force augmente de 0.05% par an. C'est dire la complexité de sa représentation.

Deux modèles sont connus:

• IAGA pour International Association of Geomagnetism and Aeronomy
• IGRF pour International Geomagnetic Reference Field qui propose un développement du potentiel magnétique donnant accès au champ magnétique terrestre sous la forme suivante:

Avec les notations :

• r rayon vecteur
• L longitude du satellite
• désigne la latitude.
• RT = 6378,135 km: rayon terrestre équatorial
• , des coefficients connus fonctions lentement variables de l'année donnés, listés et fournis en tableaux, dans les ouvrages spécialisés
• sont les fonctions de Legendre normalisées.

Pour une première étude de stabilisation par magnétocoupleurs et une bonne compréhension du phénomène, nous nous contenterons d'un modèle simple en ne gardant que les premiers termes du développement soit:

Nous obtenons donc les composantes du champ magnétique par

Br est la composante radiale

B_N la composante tangente au méridien vers le nord local

BL la composante vers l'est

Le calcul donne:

2°) Modèle simplifié du champ magnétique terrestre :

Nous commencerons par un modèle encore plus simple sans que cela altère les résultats généraux de l'étude de contrôle d'attitude.

Hypothèses :

On assimile le champ magnétique terrestre à celui d'un dipôle magnétique placé suivant l'axe Nord-Sud de la Terre et présentant ainsi une symétrie de révolution autour de l'axe de rotation de la Terre.

Nous savons que

où mo = 4 p 10^-7 et K= 6.413 10²¹ A-m²

N est la direction locale du Nord (pour nous magnétique et géographique à la fois avec la simplification adoptée).

Exemple de calcul des composantes de B dans le repère orbital local pour une orbite héliosynchrone:

Hypothèses:

L'orbite est supposée circulaire de type héliosynchrone ou du moins d'inclinaison i>90°.

Le temps de référence t = 0 est pris à l'un des passages du satellite au noeud N ascendant (passage de l'hémisphère sud à l'hémisphère nord)

On appelle j l'angle polaire du satellite compté à partir du nœud ascendant positivement autour de l'axe de tangage (axe également porteur du moment cinétique du satellite).

On appellera b l'angle entre la vitesse (ou l'axe de roulis X) et la direction N du nord local, est mesuré positivement autour de la géocentrique Z (Sur la figure trace montante b<0 et i>90°).

Remarque:

La simple observation du dessin montre que pour une telle orbite, lorsque la trace est montante (latitude croissante) -90°< b <0 et pour une trace descendante (latitude décroissante) -180° < b <-90°.

Calcul des composantes de B sur X, Y, Z repère local.

On rappelle les relations de trigonométrie sphérique suivantes :

De plus le lecteur se convaincra que le plan E, N est le plan horizontal (E est la direction de locale de l'est). Il fera attention à l'angle b compté algébriquement dans les calculs de projection.

La projection donne alors :

d'où les composantes du champ B magnétique en axes du repère orbital local X, Y, Z.

On observe que dans notre modélisation la composante BY est constante mais naturellement faible puisque l'inclinaison est voisine de 90° (une orbite héliosynchrone est presque polaire). Bien sûr avec un modèle plus précis cette propriété n'est plus vraie et BY a une variation périodique .

4°) MODELE DE CHAMP MAGNETIQUE:

Dans les simulations servant à valider des concepts de régulation utilisant le champ magnétique et ( ou ) sa dérivée, l’approche analytique précédente suffit.

Mais pour un usage et des applications en mission réelle, il faut une connaissance plus précise du champ magnétique local, fonction de la longitude, de l’altitude et de l’altitude sol. Des modèles existent, appelé modèles embarqués qui ne nécessitent qu’une bonne estimation de la position du satellite par rapport à la Terre.

Vous trouverez sur ce site une rubrique spécialement destinée au modèle IGRF (International Geomagnetic Reference Field ) et les routines utilisables sous Matlab.

III SIMULATION sur un satellite :

1°) Présentation :

En 1993, un projet avait été lancé, à l'école de l'air, d'étudier un petit satellite héliosynchrone, en orbite basse à 470 km, pour une mission d'imagerie spatiale, tolérant une stabilisation sommaire à faible coût financier et énergétique.

Le choix avait été fait de stabiliser le satellite par gradient de gravité, avec après capture, la mise en œuvre d'un amortissement par magnéto-coupleurs utilisant le champ magnétique terrestre.

La commande serait donc réalisée au niveau des courants à injecter dans les bobines, pour générer des couples amortisseurs sur tous les axes.

2°) La simulation :

Elle porte sur un satellite :

• En orbite basse héliosynchrone d'altitude 437 km inclinée à 97°.19
• D'inerties roulis Ir = 90 m²kg, tangage It = 120 m²kg, lacet Il = 50 m²kg
• Equipement par 3 magnétocoupleurs à commande proportionnelle dérivée sur les 3 axes

Axe	Gains /rappel angle	Gains/ rappel vitesse
Roulis	kpx = 25	Kdx = 25000
Tangage	kpy = 14	Kdy = 15000
Lacet	kpz = 75	Kdz = 50000

Ces coefficients sont choisis ici de manière empirique et demanderaient une étude plus poussée.

• Le champ magnétique est calculée par la routine d'initialisation SCAODAT.M , le résultat est stocké dans un fichier qu'il faut donner dans SCADAT2 ( Modification à la main pour le chemin). NB : le chemin actuel est ---> c:\calculer\matlab42\resultat\magneto. Le point de départ du calcul est lors de la traversée S-N ( Nœud ascendant) de l'équateur.
• Les composantes du champ magnétique B sur les axes XYZ liés à l'orbite circulaire ( X tangent, Y normal portant le moment cinétique, Z verticale ascendante) sont données, pour information, sur le graphe suivant, pour une période complète de révolution soit 5599 secondes:

• Un couple perturbateur dû essentiellement à la traînée sur l'axe tangage peut être introduit grâce à un gain mis à 0 ou 1.

Le bloc simulation nommé SCAOMAG2.M se présente ainsi :

• Le lecteur curieux pourra analyser tous les sous systèmes et retrouvera les variables intéressantes dans le bloc vert des angles et de leur dérivées.

NB 1: Il est impératif d'initialiser la simulation en lançant scaodat2.m dans l'espace de travail Matlab.

NB 2: C'est aussi dans ce fichier que vous pouvez modifier l'orbite et les moments d'inertie du satellite

NB 3 : Vous pouvez modifier les valeurs des gains dans le bloc rose du retour d'état, pour en étudier les effets.

3°) Quelques résultats:

a. En l'absence de perturbations sur un satellite (Ir = 90 m²kg, tangage It = 120 m²kg, lacet Il = 50 m²kg )

• Sur 6 périodes soit environ 40000 secondes
• Avec des écarts angulaires de 0.1 radian, pour rester dans le cadre des petits angles
• Sans vitesses initiales

On note une stabilisation en 4 heure avec retour à zéro de tous les angles.

a. En présence d'une perturbation aérodynamique donnant un couple de 2 10^-5 N-m, sur un satellite (Ir = 90 m²kg, tangage It = 120 m²kg, lacet Il = 50 m²kg )

Il apparaît nettement un amortissement sur les 3 angles, avec oscillations autour de 0 pour le roulis et le lacet, mais autour d'une position décalée pour le tangage, à cause du couple perturbateur.

Il est bien connu que les magnétocoupleurs en présence d'une perturbation et à cause des couplages, ne ramènent pas le système à l'équilibre mais le rapproche en oscillations de faible amplitude, d'une position résiduelle.

b. Absence de perturbation aérodynamique sur un satellite (Ir = 90 m²kg, tangage It = 120 m²kg, lacet Il = 50 m²kg ), mais diminution des gains sur les vitesses d'un facteur 10

On constate bien évidemment un amortissement plus lent.

c. Absence de perturbation aérodynamique sur un satellite (Ir = 120 m²kg, tangage It = 120 m²kg, lacet Il = 50 m²kg ), avec les gains initiaux

Avec des moments d'inertie en roulis et tangage égaux, il est impossible en oscillations libres de "contrer" le lacet qui va croître indéfiniment, ce qui déstabilise les autres angles à cause des couplages. Voir Oscillations libres sous gradient de gravité

On constate aussi que les magnétocoupleurs sont maintenant incapables de stabiliser le système.

4°) TELECHARGEMENT:

Si vous désirez récupérer les programmes, vous le pouvez en "téléchargeant" magnetoc.zip, comprenant:

• Le fichier d'initialisation scaodat2.m
• Le fichier bloc de simulation scamag2.m
• Un fichier pour une fonction de produit vectoriel dvpnorm.m
• Un fichier de visualisation des résultats visu2.m

5°) VOIR UNE APPILCATION TRES COMPLETE A UN NANOSATELLITE:

Ce site présente une rubrique spécialement destinée à la stabilisation, pointage zénith, d’un nanosatellite avec utilisation de magnétocoupleurs. Voir les pages dédiées

Résultat d'une coopération à l'Ecole de l'Air en 1993 : M Chiavassa (mathématiques) + Cdt Godard (automatique) + M Guiziou (mécanique spatiale), revu février 1999 et novembre 2001, réactualisé en janvier 2006, et 2012, revu 2014 avec de nouveaux liens